Свойства первого замечательного предела

Примеры решений Высшая математика — просто и доступно! Если сайт упал, используйте ЗЕРКАЛО: Зарегистрируйтесь на и будьте в курсе новостей проекта! Высшая математика: Не нашлось нужной задачи? Учимся решать: Аналитическая геометрия: Элементы высшей алгебры: Пределы: Производные функций: Функции и графики: ФНП: Интегралы: Дифференциальные уравнения: Числовые ряды: Функциональные ряды: Кратные интегралы: Комплексный анализ: Теория вероятностей: Если Вы заметили опечатку, пожалуйста, мне об этом Кнопка для сайта: Когда нет времени: Помогут разобраться в теме, подготовиться к экзамену Замечательные пределы. Примеры решений Продолжаем наш разговор на тему Пределы и способы их решения. Перед изучением материалов данной страницы настоятельно рекомендую ознакомиться со статьей. Из вышеуказанной статьи Вы сможете узнать, что же такое предел, и с чем его едят — это ОЧЕНЬ важно. Можно не понимать, что такое определители и успешно их решать, можно совершенно не понимать, что такое производная и находить их на «пятёрку». Но вот если Вы не понимаете, что такое предел, то с решением практических заданий придется туго. Также не лишним будет ознакомиться с образцами оформления решений и моими рекомендациями по оформлению. Вся информация изложена в простой и доступной форме. А для целей данного урока нам потребуются следующие методические материалы: Замечательные пределы и Тригонометрические формулы. Их можно найти на странице. Лучше всего методички распечатать — это значительно удобнее, к тому же к ним часто придется обращаться в оффлайне. Чем же замечательны замечательные пределы? Замечательность данных пределов состоит в том, что они доказаны величайшими умами знаменитых математиков, и благодарным потомкам не приходиться мучаться страшными пределами с нагромождением тригонометрических функций, логарифмов, степеней. То есть при нахождении пределов мы будем пользоваться готовыми результатами, которые доказаны теоретически. Замечательных пределов существует несколько, но на практике у студентов-заочников в 95% случаев фигурируют два замечательных предела: Первый замечательный предел, Второй замечательный предел. Следует отметить, что это исторически сложившиеся названия, и, когда, например, говорят о «первом замечательном пределе», то подразумевают под этим вполне определенную вещь, а не какой-то случайный, взятый с потолка предел. Первый замечательный предел Рассмотрим следующий предел: вместо родной буквы «хэ» я буду использовать греческую букву «альфа», это удобнее с точки зрения подачи материала. Согласно нашему правилу нахождения пределов см. Таким образом, мы сталкиваемся с неопределенностью видакоторую, к счастью, раскрывать не. В курсе математического анализа, доказывается, что: Данный математический факт носит название Первого замечательного предела. Аналитическое доказательство предела приводить не буду, а вот его геометрический смысл рассмотрим на уроке. Нередко в практических заданиях функции могут быть расположены по-другому, это ничего не меняет: — тот же самый первый замечательный предел. Но самостоятельно переставлять числитель и знаменатель нельзя! Если дан предел в видето и решать его нужно в таком же виде, ничего не переставляя. На практике в качестве параметра может выступать не только переменнаяно и элементарная функция, сложная функция. Важно лишь, чтобы она стремилась к нулю. Примеры:,Здесь, и всё гуд — первый замечательный предел применим. А вот следующая запись — ересь: Почему? Потому что многочлен не стремится к нулю, он стремится к пятерке. Кстати, вопрос на засыпку, а чему равен предел? Ответ можно найти в конце урока. На практике не все так гладко, почти никогда студенту не предложат решить халявный предел и получить лёгкий зачет. Хммм… Пишу эти строки, и пришла в голову очень важная мысль — все-таки «халявные» математические определения и формулы вроде лучше помнить наизусть, это может оказать неоценимую помощь на зачете, когда вопрос будет решаться между «двойкой» и «тройкой», и преподаватель решит задать студенту какой-нибудь простой вопрос или предложить решить простейший пример «а может он а все-таки знает чего?! Переходим к рассмотрению практических примеров: Пример 1 Найти предел Если мы замечаем в пределе синус, то это нас сразу должно наталкивать на мысль о возможности применения первого замечательного предела. Сначала пробуем подставить 0 в выражение под знак предела делаем это мысленно или на черновике : Итак, у нас есть неопределенность видаее обязательно указываем в оформлении решения. Выражение под знаком предела у нас похоже на первый замечательный предел, но это не совсем он, под синусом находитсяа в знаменателе. В подобных случаях первый замечательный предел нам нужно организовать самостоятельно, используя искусственный прием. Ход рассуждений может быть таким: «под синусом у насзначит, в знаменателе нам тоже нужно получить ». А делается это очень просто: То есть, знаменатель искусственно умножается в данном случае на 7 и делится на ту же семерку. Теперь запись у нас приняла знакомые очертания. Когда задание оформляется от руки, то первый замечательный предел желательно пометить простым карандашом: Что произошло? По сути, обведенное выражение у нас превратилось в единицу исчезло в произведении: Теперь только осталось избавиться от трехэтажности дроби: Кто позабыл упрощение многоэтажных дробей, пожалуйста, освежите материал в справочнике. Пробуем подставить в числитель и знаменатель ноль: Действительно, у нас неопределенность и, значит, нужно попытаться организовать первый замечательный предел. На уроке мы рассматривали правило, что когда у нас есть неопределенностьто нужно разложить числитель и знаменатель на множители. Здесь — то же самое, степени мы представим в виде произведения множителей : Далее, по уже знакомой схеме организовываем первые замечательные пределы. Под синусами у насзначит, в числителе тоже нужно получить : Аналогично предыдущему примеру, обводим карандашом замечательные пределы здесь их дваи указываем, что они стремятся к единице: Собственно, ответ готов: В следующих примерах, я не буду заниматься художествами в Пэйнте, думаю, как правильно оформлять решение в тетради — Вам уже понятно. Пример 3 Найти предел Подставляем ноль в выражение под знаком предела: Получена неопределенностькоторую нужно раскрывать. Если в пределе есть тангенс, то почти всегда его превращают в синус и косинус по известной тригонометрической формуле кстати, с котангенсом делают примерно то же самое, см. В данном случае: Косинус нуля равен единице, и от него легко избавиться не забываем пометить, что он стремится к единице : Таким образом, если в пределе косинус является МНОЖИТЕЛЕМ, то его, грубо говоря, нужно превратить в единицу, которая исчезает в произведении. Дальше по накатанной схеме, организуем первый замечательный предел: Здесь все вышло проще, без всяких домножений и делений. Первый замечательный предел тоже превращается в единицу исчезает в произведении: В итоге получена бесконечность, бывает и. Пример 4 Найти предел Пробуем подставить ноль в числитель и знаменатель: Получена неопределенность косинус нуля, как мы помним, равен единице Используем тригонометрическую формулу. Пределы с применением этой формулы почему-то встречаются очень. Постоянные множители вынесем за значок предела: Организуем первый замечательный предел: Здесь у нас только один замечательный предел, который превращается в единицу исчезает в произведении: Избавимся от трехэтажности: Предел фактически решен, указываем, что оставшийся синус стремится к нулю: Пример 5 Найти предел Этот пример сложнее, попробуйте разобраться самостоятельно: Некоторые пределы можно свести к 1-му замечательному пределу путём замены переменной, об этом можно прочитать чуть позже в статье. Второй замечательный предел В теории математического анализа доказано, что: Данный факт носит название второго замечательного предела. Справка: — это иррациональное число. В качестве параметра может выступать не только переменнаяно и сложная функция. Важно лишь, чтобы она стремилась к бесконечности. Пример 6 Найти предел Когда выражение под знаком предела находится в степени — это первый признак того, что нужно попытаться применить второй замечательный предел. Но сначала, как всегда, пробуем подставить бесконечно большое число в выражениепо какому принципу это делается, разобрано на уроке. Нетрудно заметить, что при основание степениа показатель —то есть имеется, неопределенность вида : Данная неопределенность как раз и раскрывается с помощью второго замечательного предела. Но, как часто бывает, второй замечательный предел не лежит на блюдечке с голубой каемочкой, и его нужно искусственно организовать. Рассуждать можно следующим образом: в данном примере параметрзначит, в показателе нам тоже нужно организовать. Для этого возводим основание в степеньи, чтобы выражение не изменилось — возводим в степень : Когда задание оформляется от руки, карандашом помечаем: Практически всё готово, страшная степень превратилась в симпатичную букву : При этом сам значок предела перемещаем в показатель: Далее, отметки карандашом я не делаю, принцип оформления, думаю, понятен. Пример 7 Найти предел Внимание! Предел подобного типа встречается очень часто, пожалуйста, очень внимательно изучите данный пример. Пробуем подставить бесконечно большое число в выражение, стоящее под знаком предела: В результате получена неопределенность. Но второй замечательный предел применим к неопределенности вида. Нужно преобразовать основание степени. Рассуждаем так: в знаменателе у насзначит, в числителе тоже нужно организовать : Теперь можно почленно разделить числитель на знаменатель: Вроде бы основание стало напоминатьно у нас знак «минус» да и тройка какая-то вместо единицы. Поможет следующее ухищрение, : Таким образом, основание приняло види, более того, появилась нужная нам неопределенность. Организуем второй замечательный предел. Легко заметить, что в данном примере. Снова исполняем наш искусственный прием: возводим основание степени ви, чтобы выражение не изменилось — возводим в обратную дробь : Наконец-то долгожданное устроено, с чистой совестью превращаем его в букву : Но на этом мучения не закончены, в показателе у нас появилась неопределенность видараскрывать такую неопределенность мы научились на уроке. Делим числитель и знаменатель на : Готово. А сейчас мы рассмотрим модификацию второго замечательного предела. Напомню, что второй замечательный предел выглядит следующим образом:. Однако на практике время от времени можно встретить его «перевёртыш», который в общем виде записывается так: Пример 8 Найти предел Сначала мысленно или на черновике пробуем подставить ноль бесконечно малое число в выражение, стоящее под знаком предела: В результате получена знакомая неопределенность. Очевидно, что в данном примере. С помощью знакомого искусственного приема организуем в показателе степени конструкцию : Выражение со спокойной душой превращаем в букву : Еще не всё, в показателе у нас появилась неопределенность вида. Раскладываем тангенс на синус и косинус ничего не напоминает? Как видите, в практических заданиях на вычисление пределов нередко требуется применять сразу несколько правил и приемов. Чтобы окончательно разобраться в пределах функций, и во 2-м замечательном пределе в частности, настоятельно рекомендую ознакомиться с третьим уроком —. В 90-95% на зачете, экзамене Вам встретится первый замечательный предел или второй замечательный предел. Как быть, если попался «экзотический» замечательный предел? Ничего страшного, практически все приёмы решения 1-го замечательного предела работают и для остальных замечательных пределов, читайте 2-й параграф заключительной статьи. Да, так чему же равен предел? Автор: Емелин Александр Переход на главную страницу.



COPYRIGHT © 2010-2016 domnakirova.ru